「矩」を題材とした創造性の基礎を培う授業について
―中国数学史原典「周髀算経」の解釈を通してー

筑波大学大学院教育研究科　　山田　奈央

要約

１．研究意図
　「個に応じた指導に関する指導資料」(2002，p11)1は、創造性の基礎を培うことについて、その必要性を指摘し、「既習の内容を再吟味する中で、見落としていた事象を数学の課題としてとらえたり、解決したり、それを振り返ったりする数学的活動を通して、多様な方面に発達する数学の芽を、将来興味が生じたときに備えて用意したいとする趣旨から生じている。」と述べている。これをふまえて筆者は、創造性の基礎を培うことを、数学は様々な領域に発展することができるという考え方を学ぶことと捉え、創造性の基礎を培うことができる授業を提案する。
　さらに、「個に応じた指導に関する指導資料」(2002)では、数学の興味・関心を高め、内容の理解を深めることが必要であると述べられている。筆者は基礎・基本の学力低下は、算数・数学への興味・関心が低下していることが一因であると考え、数学への興味・関心を高めることができる授業を提案する。
　これまでに、数学史を用いた原典解釈と追体験によって興味・関心が高まり、内容の理解をさらに深めることができること2や解釈学的営みを位置づけた数学史を用いた授業3が報告されている。筆者は、興味・関心を高めることができる授業を提案するにあたり、数学史を授業で用い、さらに授業では原典解釈と追体験による解釈学的営みを重視する。また題材としては、根本(1999，p35)4が、三平方の定理は、歴史を通して数学を学ぶことのできる内容で、多くの生徒が興味をもてる内容であると述べていることから、三平方の定理の歴史的側面に着目する。
　創造性の基礎を培うという立場から、矩を題材とした授業を行う。矩を題材とした授業では、三平方の定理に限らず相似や測量、円、計算、目盛、証明など、様々な領域へと発展させることが可能であるので、数学における創造性の基礎を培うことができる。
　これらを基に、筆者は三平方の定理の歴史的側面に着目し、矩を通して三平方の定理について理解を深め、さらに、他の様々な領域へと発展させることができるように、原典解釈と追体験による解釈学的営みに基づいた授業を行う。

２．研究目的
　解釈学的営みに基づいた授業によって、数学への興味・関心を高め、数学における創造性の基礎を培うことを考察する。

３．研究課題
課題1：当時の中国の矩の利用の原典解釈と追体験を通して、生徒が学んできた数学との関わりや
　　　 違い、共通点を認識することができるか。
課題2：課題1を通して、数学が人の営みとして歴史を経て構築されてきたものであることを感じ、
　　　 数学への興味・関心を高めることができるか。
課題3：課題1、課題2を通して、様々な領域に発展する数学を感じることができるか。

４．矩の教材化
　矩とは、直角定規とものさしとを一緒にした形をした大工道具の一つである。矩を通して三平方の定理、相似や測量、円、計算、目盛、証明など、様々な数学の領域との関連を扱うことができるため、矩を題材として扱った。
　筆者は『周髀算経』⁵に注目し、解釈学的営みに沿って原典解釈と追体験を行い、矩と数との結びつきこそが、あらゆる事物を導き、支配するものにほか　ならない。」と書かれていることや当時の矩の利用法の中にも、三平方の定理、相似や測量、円、計算、目盛などの現在の数学が隠れていることや当時も現在と同様な考え方がされていたことが、現在での証明としては不十分であることなどの筆者が感じた驚きや意外性を生徒も感じることができるように3時間を通して『周髀算経』を原典とし、矩を題材として扱った。
　ここで、数学史を授業で用いることについて、土田(2002) ⁶は、解釈学的営みを3つの問いの連続として具体化し、その追体験と原典解釈により数学の興味・関心が高まると述べている。このような解釈学的営みに基づいた授業によって、当時の考え方と現在の考え方を比較することや多様な方面に発達する数学を感じ取ることも期待できる。
　このような点から、矩の歴史的側面に着目した授業により、数学における創造性の基礎を培うことが期待できる。

６．議論　
課題1に対して
　１時間目から２時間目で『周髀算経』の「矩」に注目して解釈学的営みの「理解」「他者の立場の想定」「自己理解」にあたる問いを立て、当時の矩やその利用法について原典解釈と追体験を行ったことで、当時の中国の矩を生徒が学んできた数学で考え、その関わりや違い、共通点を認識できていることがわかった。さらに、３時間目の授業で『周髀算経』の「三平方の定理」に注目して解釈学的営みの「理解」「他者の立場の想定」「自己理解」にあたる問いを立て、当時の三平方の定理の考え方やその証明について原典解釈と追体験を行ったことで、当時の中国の三平方の定理の考え方とその証明を生徒が学んできた数学で考え、その関わりや違い、共通点を認識できていることがわかった。
課題２に対して
　本研究では、始めから三平方の定理に着目するのではなく、昔からある矩に着目することにより、人の営みとして用いられてきた道具の中にある数学を感じることができるように、矩を題材として授業を行った。その結果、当時の矩について原典解釈し、その利用法を追体験することで、身の回りにある道具の中にも数学があり、その数学は人が考えて創り出したものであることを感じることができた。さらに、三平方の定理やその証明についても原典解釈し、追体験することで、中国の歴史の奥深さも感じることができた。これにより、生徒の数学への興味・関心が高まることがわかった。
課題３に対して
　本研究では、矩の歴史を題材とすることによって、多様な数学の分野への発展性を扱うことができ、生徒に創造性の基礎を培うことができることに着目した。その結果、現在や昔の矩の使われ方から、三平方の定理に限らず相似や測量、円、計算、目盛、証明など、様々な分野へと発展させることができ、多様な方面に発達する数学を感じ取ることができた。

７．おわりに　
　本研究では、矩の歴史を題材として、解釈学的営みに基づいた授業によって、数学への興味・関心を高め、数学における創造性の基礎を培うことができるかを考察した。
　その結果、『周髀算経』の「矩」や「三平方の定理」に注目して解釈学的営みの「理解」「他者の立場の想定」「自己理解」にあたる問いを立て、当時の矩やその利用法と当時の三平方の定理の考え方やその証明について原典解釈と追体験を行ったことで、当時の中国の矩や三平方の定理の考え方とその証明を生徒が学んできた数学で考え、その関わりや違い、共通点を認識できていることがわかった。さらに、この認識できていることを通して、身の回りにある道具の中にも数学があり、その数学は人が考えて創り出したものであることや、中国の数学の歴史の奥深さを感じ、数学への興味・関心が高まることがわかった。さらに、現在や昔の矩の使われ方から、三平方の定理に限らず相似や測量、円、計算、目盛、証明など、様々な領域に発展する数学を感じ取ることができ、他の領域へ応用しようとしていることがうかがえることから創造性の基礎を培うことができるとわかった。
　今後は、さらに他の題材からも創造性の基礎を培うことができるような題材を検討し、本研究の矩と関連させて、より数学への興味・関心が高まり、創造性の基礎を培うことができるような授業について研究することが課題である。